Matrizen Grundlagen vollständig erklärt - StudyHelp (2024)

In diesem Artikel zeigen wir dir was Matrizen sind, wie diese aufgebaut sind und wie man mit Matrizen rechnet:

• Aufbau von Matrizen
• Vom LGS zur Matrizen
• Rechnen mit Matrizen
• Beispielaufgaben

Aufbau von Matrizen

Matrizen bestehen aus m Zeilen und n Spalten, weshalb sie auch (m,n)-Matrizen genannt werden. Die Dimension einer einzelnen Matrix (Matrizen ist nur der Plural vom Begriff „Matrix“) mit m Zeilen und n Spalten ist $m \times n$.

\begin{align*}
A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}
\end{align*}

Die Elemente einer Matrix bezeichnet man auch als Koeffizienten!

Besondere Matrizen sind:

• Quadratische Matrizen: m=n
• Nullmatrix: Alle Elemente der Matrix sind Null!
  
  Die Nullmatrix $\textbf{0}_n$ mit der Dimension $n \ \times \ n$ ist in der Matrizenrechnung das Äquivalent zur 0 der reellen Zahlen. Jedes Element in einer Nullmatrix ist gleich Null.

  \begin{align}
  0_2=\left( \begin{array}
  00 & 0 \\
  0 & 0
  \end{array} \right)
  0_3=\left( \begin{array}
  00 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0
  \end{array} \right)\qquad\cdots\qquad
  0_n=\left( \begin{array}
  00 & 0 & 0 & \cdots \\
  0 & 0 & 0 & \cdots \\
  0 & 0 & 0 & \cdots \\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
  \end{array} \right)
  \end{align}

• Einheitsmatrix: Elemente der Hauptdiagonalen gleich Eins und alle anderen Elemente gleich Null!
  
  Die Einheitsmatrix $\textbf{E}_n$ mit der Dimension $n \ \times \ n$ ist in der Matrizenrechnung das Äquivalent zur 1 der reellen Zahlen. Jedes Element in einer Einheitsmatrix ist gleich Null bis auf die Elemente (alles Einsen) auf der Hauptdiagonalen.

  \begin{align}
  \textbf{E}_2=\left( \begin{array}
  11 & 0 \\
  0 & 1
  \end{array} \right) \qquad
  \textbf{E}_3=\left( \begin{array}
  11 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
  \end{array} \right) \qquad\cdots\qquad
  \textbf{E}_n=\left( \begin{array}
  11 & 0 & 0 & \cdots \\
  0 & 1 & 0 & \cdots \\
  0 & 0 & 1 & \cdots \\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
  \end{array} \right)
  \end{align}

• Diagonalmatrix: alle Elemente – außer die Elemente der Hauptdiagonalen – sind gleich Null.
  
  Eine Matrix erhält die Bezeichnung Diagonalmatrix, wenn auf der Hauptdiagonalen Zahlen aus $\mathbb{R}$ stehen und sonst jedes Element Null ist.
  \begin{align*}
  &\textbf{A}=\left( \begin{array}
  22 & 0 & 0 \\
  0 & 3 & 0 \\
  0 & 0 & e
  \end{array}\right) \qquad,\qquad \textbf{A}=
  \left( \begin{array}
  \text{0} & 0 \\
  0 & \frac{1}{5}
  \end{array}\right)
  \end{align*}

  Auf der Hauptdiagonalen dürfen alle Zahlen stehen, auch Nullen. Die Nullmatrix ist also auch eine Diagonalmatrix!

• Diagonalmatrix: eine Matrix, bei der auf der Hauptdiagonalen Zahlen aus $\mathbb{R}$ stehen und sonst jedes Element Null ist.

  \begin{align*}
  &\textbf{A}=\left( \begin{array}
  22 & 0 & 0 \\
  0 & 3 & 0 \\
  0 & 0 & e
  \end{array}\right) \qquad,\qquad\textbf{B}=
  \left( \begin{array}
  00 & 0 \\
  0 & \frac{1}{5}
  \end{array}\right)
  \end{align*}

  Auf der Hauptdiagonalen dürfen alle Zahlen stehen, auch Nullen. Die Nullmatrix ist also auch eine Diagonalmatrix!

• Stochastische Matrix, auch Übergangsmatrix genannt, ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- oder Spaltensummen Eins betragen und deren Elemente zwischen Null und Eins liegen.

Lass dir von Daniel den Aufbau von Matrizen zeigen.

Vom LGS zur Matrix

Um Schreibarbeit zu sparen, und das ganze übersichtlicher zu halten, kann man ein lineares Gleichungssystem in Kurzform angeben! Aus dem LGS:

\begin{align*}
– 1x_1 + 2x_2 + 0x_3 &= 0 \\
1x_1 + 1x_2 + 1x_3 &= 34 \\
10x_1 + 5x_2 + 1x_3 &= 100
\end{align*}

folgt das LGS in Kurzform mit:

\begin{align*}
\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 10 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 34 \\ 100
\end{pmatrix} \notag
\end{align*}

bzw. als erweiterte Matrix:

\begin{align*}
\left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 34 \\ 10 & 5 & 1 & 100 \end{array}\right)
\end{align*}

Daniel erklärt es dir nochmal in seinem Lernvideo.

Rechnen mit Matrizen

Matrizen addieren und subtrahieren

Die Addition und Subtraktion von Matrizen lässt sich durchführen, wenn die beiden Matrizen jeweils vom gleichen Typ sind. Etwas unmathematischer ausgedrückt müssen diese die selbe „Gestalt“ aufweisen. Man addiert oder subtrahiert jeweils die entsprechenden Komponenten der beiden Matrizen.

Gegeben sind die Matrizen A und B

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}
\end{align*}

Es folgt:

\begin{align*}
A \pm B = \begin{pmatrix} a_{11}\pm b_{11} & a_{12}\pm b_{12} \\ a_{21}\pm b_{21} & a_{22}\pm b_{22} \end{pmatrix}
\end{align*}

Die Addition von Matrizen ist – ebenso wie eine normale Addition – kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Matrizen ist beliebig: A+B=B+A. Subtraktion ist analog!

Zahl mal Matrix

Eine Matrix A wird mit einer reellen Zahl r (auch Skalar genannt) multipliziert, indem man jedes Element von A mit r multipliziert:

\begin{align*}
r \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}_{A} = \begin{pmatrix} 3 \cdot r & 2 \cdot r \\ 4\cdot r & 5 \cdot r \end{pmatrix}.
\end{align*}

Matrix mal Vektor

Damit eine solche Matrix-Vektor-Multiplikation durchgeführt werden kann, muss die Spaltenzahl der Matrix mit der Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmen.
Gegeben sei die reelle Matrix und der reelle (Spalten-)Vektor

\begin{align*}
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \in ^{2 \times 3} \quad \textrm{und} \quad x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \in ^{3 \times 1}.
\end{align*}

Da die Matrix A ebenso viele Spalten besitzt, wie der Vektor x lang ist, ist das Matrix-Vektor-Produkt $A \cdot x$ durchführbar. Nachdem A zwei Zeilen hat wird der Ergebnisvektor y ebenfalls zwei Elemente aufweisen. Um das erste Element des Ergebnisvektors zu berechnen, betrachtet man die erste Zeile von A, multipliziert die jeweils entsprechenden Einträge dieser Zeile mit denen des Ausgangsvektors und summiert die Ergebnisse auf (die Sternchen stehen für noch nicht berechnete Elemente):

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1+ 2 \cdot 0 +1 \cdot 4 \\ \ast \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ \ast \end{pmatrix}
\end{align*}

Für das zweite Element des Ergebnisvektors betrachtet man entsprechend die zweite Zeile von A und berechnet analog:

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}
\end{align*}

Matrix mal Matrix

Um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen. Gegeben seien die beiden reellen Matrizen

\begin{align*}
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \in ^{2 \times 3} \ \ \textrm{und} \ \ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \in ^{3 \times 2}.
\end{align*}

Da die Matrix A ebenso viele Spalten wie die Matrix B Zeilen besitzt, ist die Matrizenmultiplikation $A \cdot B$ durchführbar. Nachdem A zwei Zeilen und B zwei Spalten hat, wird das Matrizenprodukt ebenfalls zwei Zeilen und Spalten aufweisen. Zur Berechnung des ersten Matrixelements der Ergebnismatrix werden die Produkte der entsprechenden Einträge der ersten Zeile von A und der ersten Spalte von B aufsummiert (die Sternchen stehen für noch nicht berechnete Elemente):

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 4 & \ast \\ \ast & \ast \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & \ast \\ \ast & \ast
\end{pmatrix}
\end{align*}

Für das nächste Element der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte wird entsprechend die erste Zeile von A und die zweite Spalte von B verwendet:

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ \ast & \ast \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ \ast & \ast \end{pmatrix}
\end{align*}

Dieses Rechenschema setzt sich nun in der zweiten Zeile und ersten Spalte fort:

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 4 & \ast \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & \ast \end{pmatrix}
\end{align*}

Es wiederholt sich bei dem letzten Element in der zweiten Zeile und zweiten Spalte:

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 2 \end{pmatrix}
\end{align*}

Das Ergebnis ist das Matrizenprodukt $A \cdot B$.

Beispielaufgaben