Matrizen — Grundwissen Mathematik (2024)

Rechenregeln für Matrizen¶

Die wichtigsten Rechenoperationen für Matrizen sind die Addition zweier Matrizensowie die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl, einem Vektor oder eineranderen Matrix. Die Rechenregeln für Matrizen basieren auf den üblichenGrundrechenregeln der Arithmetik; man muss dieselediglich in geordneter Weise auf „mehr“ Zahlen angewenden.

Addition zweier Matrizen

Haben zwei Matrizen die gleiche Form, so können sie addiert beziehungsweisesubtrahiert werden, indem die jeweils an gleicher Stelle stehenden Komponentenaddiert beziehungsweise subtrahiert werden:

Das Resultat einer Addition beziehungsweise Subtraktion ist wiederum eineMatrix, welche die gleiche Form hat wie jede der beiden ursprünglichen Matrizen.

Beispiel:

• Welches Ergebnis liefert die Addition der folgenden beiden Matrizen?

  

  Bei der Matrizen-Addition werden die einzelnen Komponenten beider Matrizenaddiert:

  

Da die Addition beziehungsweise Subtraktion komponentenweise nach den gleichenRechenregeln wie mit gewöhnlichen Zahlen erfolgt, gilt auch für die Additionbeziehungsweise Subtraktion das Kommutativ- undAssoziativgesetz :

Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl

Die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (einem so genannten„Skalar“) erfolgt ebenfalls komponentenweise: Jedes Element der Matrix wird mit dem Wert des Skalars multipliziert. Mankann also schreiben:

Das Resultat einer ist wiederum eine Matrix, welche die gleiche Form hat wie dieursprüngliche Matrix.

Beispiel:

• Welches Ergebnis erhält man, wenn man folgende Matrix mit multipliziert?

  

  Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl werden alle Komponenten derMatrizen mit dieser Zahl multipliziert:

  

Auch für die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl gelten dasKommutativ- und Assoziativgesetz:

Zudem gilt das Distributivgesetz in gewohnter Form:

Multiplikation eines Zeilen- mit einem Spaltenvektor

Zur Herleitung einer Rechenregel für die Multiplikation zweier Matrizen wirdzunächst von der skalaren Multiplikation eines Zeilenvektors mit einemSpaltenvektor ausgegangen. Wie bei einem gewöhnlichen Skalarprodukt zweierVektoren werden dabei die einzelnen Komponenten des Zeilen- unddes Spaltenvektors miteinander multipliziert, und die sich dabei ergebendenTeilergebnisse schließlich summiert.

Damit eines solches Produkt möglich ist, muss der Zeilenvektor ebenso vieleKomponenten haben wie der Spaltenvektor. Das Ergebnis des Produkts ist dann einegewöhnliche Zahl (ein Skalar).

Beispiel:

• Welches Ergebnis erhält man, wenn man den Zeilenvektor mit dem Spaltenvektor multipliziert?

  

  Das Produkt liefert somit den Wert

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Multipliziert man nun nicht nur einen Zeilenvektor mit Komponenten,sondern eine -spaltige Matrix mit einem Spaltenvektor der Länge, so wird nach der obigen Regel(6) für jede Zeile der Matrix einSkalarprodukt mit dem Spaltenvektor gebildet. Hat die Matrix Zeilen,so erhält man folglich einzelne Ergebnisse. Diese werden alsKomponenten in einen neuen Spaltenvektor der Länge geschrieben.

Beispiel:

• Welches Ergebnis erhält man, wenn man die folgende Matrix mit dem folgenden Vektor multipliziert?

  

  Für die Multiplikation der Matrix mit dem Vektor gilt nach obigem Schema:

  

Ein Produkt einer Matrix mit einem Vektor kann nur dann gebildet werden, wenndie Anzahl an Spalten der Matrix mit der Anzahl an Zeilen des Vektorsübereinstimmt; andernfalls ist die Multiplikation nicht definiert.

Multiplikation zweier Matrizen

Beim so genannten „Falk-Schema“, wie es in der obigen Abbildung dargestellt ist,werden die zu multiplizierenden Matrizen beziehungsweise Vektoren tabellenartigaufgelistet.[1] Die Auswertung erfolgt allgemein nach folgender Regel:Multipliziert man die -te Zeile der linken Matrix mit der -tenSpalter der rechten Matrix, so erhält man die Komponente der Ergebnis-Matrix,die dort in der -ten Zeile und -ten Spalte steht.

Das Falk-Schema kann also einfach auf die Multiplikation zweier Matrizenausgeweitet werden: Hierbei wird jeweils an der Stelle, wo sich eine Zeile derlinken Matrix mit einer Spalte der rechten Matrix überkreuzt, das entsprechendeSkalarprodukt eingetragen.

Auch in diesem Fall ist das Produkt nur dann definiert, wenn die die Anzahl anSpalten der linken Matrix mit der Anzahl an Zeilen des Vektors übereinstimmt.Hat die linke Matrix die Form und die rechte Matrix die Form, so erhält man als Ergebnis eine neue Matrix der Form. Multipliziert man zwei quadratische Matrizen mit gleicherZeilen- beziehungsweise Spaltenanzahl, so ist die Form der resultierenden Matrixmit der Form der beiden ursprünglichen Matrizen identisch.

Beispiel:

• Welches Ergebnis erhält man, wenn man die beiden folgenden Matrizenmiteinander multipliziert?

  

  Für die Multiplikation der beiden Matrizen und gilt nach dem obigen Schema:

  

Die Bedingung, dass bei der Multiplikation zweier Matrizen auf zueinanderpassende Spalten- und Zeilenanzahlen geachtet werden muss, zeigt bereits, dassbei diesem Rechenvorgang die Reihenfolge der Faktoren von Bedeutung ist:

• Multipliziert man eine Matrix der Form mit einer Matrix derForm , so ergibt sich eine Matrix der Form .
• Multipliziert man eine Matrix der Form mit einer Matrix derForm , so ergibt sich eine Matrix der Form .

Für die Multiplikation zweier Matrizen gilt folglich im AllgemeinenKommutativgesetz der Multiplikation nicht :

Für die Multiplikation zweier Matrizen gilt allerdings das Assoziativgesetz:

Auch das Distributivgesetz gilt für die Multiplikation zweier Matrizen infolgender Form:

Zusätzlich gilt, dass bei jedem Produkt einer Matrix miteiner entsprechenden Nullmatrix wiederum eine Nullmatrixentsteht (da jedes einzelnen Skalarprodukt den Wert Null hat). Multipliziert manhingegen eine beliebige Matrix mit einer Einheitsmatrix, so erhält man die ursprüngliche Matrix als Ergebnis. Es gilt also (in diesem Fall sogarunabhängig von der Reihenfolge der Faktoren):

(10)¶

Eine Division zweier Matrizen ist nicht definiert.

Wirkungsweise von Matrizen¶

Die Wirkungsweise von Matrizen lässt sich gut veranschaulichen, wenn maneinzelne Vektoren in einem ebenen Koordinatensystem betrachtet und verschiedeneArten von Matrizen auf diese anwendet.

Da es in einem ebenen Koordinatensystem nur zweidimensionale Objekte gibt,benötigen die jeweiligen (Orts-)Vektoren nur zwei Komponenten ( und); die für ein solches System relevanten Matrizen haben entsprechendebenfalls nur Komponenten.

Skalierungsmatrizen

Eine Skalierungsmatrix hat für ein zweidimensionales Koordinatensystem folgendeForm:

(11)¶

Hierbei ist ein beliebiger Zahlenwert.

Multipliziert man eine derartige Matrix mit dem Ortsvektor eines Punktes, soerhält man als Resultat wiederum einen Ortsvektor mit gleicher Richtung; dessenLänge beträgt allerdings das -fache des ursprünglichenOrtsvektors.

Beispiele:

• Wird eine Skalierungsmatrix mit mit einem Vektor multipliziert, so bleibt dieserunverändert. Dies soll am Beispiel des Punktes beziehungsweise des zugehörigen Ortsvektors gezeigt werden:

  

  Der Vektor wird somit durch die Einheits-Matrix nicht verändert.

• Wird eine Skalierungsmatrix mit mit einem Vektor multipliziert, so wird dieser um denFaktor gestreckt. Dies soll am Beispiel eines Rechtecks gezeigtwerden, dessen Eckpunkte folgende Koordinaten haben:

  

  Man kann sich die Wirkungsweise der Matrix beispielhaft anhand des Ortsvektors des Punktes veranschaulichen:

  

  Die Koordinaten-Berechnung der übrigen neuen Punkte erfolgt nach dem gleichenSchema: Man erhält für jeden der Punkte einen Ortsvektor, der um einen Faktor gestreckt ist.

Gilt für die Skalierungsgröße , so wird der Vektorbeziehungsweise ein aus vielerlei Vektoren bestehendes geometrisches Objektdurch die Matrix originalgetreu verkleinert (gestaucht). Beispielsweise würde imobigen Beispiel ein Skalierungsfaktor von eineUmkehrung der Skalierung mit dem Faktor zur Folge haben.

Gilt für die Skalierungsgröße , so wird jeder Ortsvektor, aufden die Matrix angewendet wird, nicht nur um den Faktor skaliert, sondern es wird zusätzlich sein Vorzeichen vertauscht. Hierdurch wirddie Richtung des Ortsvektors umgedreht: Beispielsweise zeigt ein Vektor, derursprünglich nach rechts oben gezeigt hat, nach einer Skalierung mit einemnegativen Skalierungsfaktor nach links unten. der Ortsvektor beziehungsweise dasgeometrische Objekt erfährt dadurch eine zentrische Streckung am Koordinaten-Ursprung.

Beispiel:

• Wird eine Skalierungsmatrix mit mit einem Ortsvektor multipliziert, so wird dieser umden Faktor gestreckt und um um denKoordinatenursprung gedreht. Dies soll am Beispiel eines Rechtecks gezeigtwerden, dessen Eckpunkte folgende Koordinaten haben:

  

  Man kann sich die Wirkungsweise der Matrix wiederum beispielhaft anhand desOrtsvektors des Punktes veranschaulichen:

  

  Die Koordinaten-Berechnung der übrigen neuen Punkte erfolgt wiederum nach demgleichen Schema; man erhält somit ein um den Faktor skaliertesObjekt im gegenüber liegenden Quadranten.

Spiegelungsmatrizen:

Soll ein (Orts-)Vektor an der - oder an der -Achse eineszweidimensionalen Koordinatensystems gespiegelt werden, so ist dies mittels derfolgenden Matrizen möglich:

(12)¶

Diese beiden Spiegelungsmatrizen ähneln einer Skalierungsmatrix mit derSkalierungsgröße ; auch sie lassen die Länge eines Vektorsbeziehungsweise die Größe eines durch mehrere (Orts-)Vektoren festgelegtenObjekts unverändert. Der Unterschied zur reinen Skalierung liegt also in dem nunauftretenden Minus-Zeichen.

Beispiel:

• Das Rechteck mit den folgenden Eckpunkten soll an der -Achsegespiegelt werden:

  

  Wendet man die obige Spiegelungsmatrix beispielsweise auf den Ortsvektor des Punktes an, so erhält man:

  

  Die Matrix lässt also die -Komponente des Vektors, mit dem siemultipliziert wird, unverändert; die -Komponente des Vektors hingegenerhält ein umgekehrtes Vorzeichen.

Die Spiegelung an der -Achse erfolgt nach dem gleichen Prinzip; dieentsprechende Matrix lässt hierbei allerdings die -Komponente desVektors unverändert, während die -Komponente ein umgekehrtes Vorzeichenerhält.

Wendet man die gleiche Spiegelungsmatrix zweimal hintereinander auf einen Vektorbeziehungsweise ein geometrisches Objekt an, so stimmt das Resultat mit demursprünglichen Objekt überein. Nimmt man hingegen zuerst eine Spiegelung an der- und anschließend eine Spiegelung an der -Achse vor, soerhält man eine Punktspiegelung des ursprünglichenObjekts um den Koordinatenursprung.

Eine Punktspiegelung ist formal mit einer Skalierung des Objekts mit dem Faktor identisch. Dies lässt sich unter anderem mittels desAssoziativ-Gesetzes der Matrix-Multiplikation zeigen:

Projektionsmatrizen

Mittels einer Projektionsmatrix lässt sich ein Vektor, wie der Name schonsagt, auf die - beziehungsweise -Achse „projezieren“.Anschaulich kann man sich eine solche Projektion als „Schatten“ des Vektorsvorstellen, der sich bei einer Beleuchtung des Vektors senkrecht zur jeweiligenAchse ergeben würde.Um einen (Orts-)Vektor auf die - beziehungsweise -Achseabzubilden, kann jeweils folgende Matrix genutzt werden:

(13)¶

Beispiel:

• Der Vektor , der die Punkte und miteinander verbindet, soll auf die-Achse projeziert werden.

  Für die senkrechten Projektionen der Punkte und ergibt sich durch Anwenden der entsprechendenProjektionsmatrix auf die zugehörigen Ortsvektoren:

  

  Den projezierten Vektor zum Vektor erhält man entweder, indemman die Differenz der Ortsvektoren von und bildet, oder auch indem man die entsprechendeProjektionsmatrix auf den Vektor anwendet:

  

  Der „Schatten“ des Vektor lässt sich somit rechnerisch mittelsdes Ausdrucks mit beschreiben.[2]

Drehmatrizen

Soll ein Vektor um einen Winkel in positiver Winkelrichtung(also gegen den Uhrzeigersinn) um den Koordinatenursprung gedreht werden, so istdies mittels der folgenden Drehmatrix möglich:

(14)¶

Die Wirkungsweise dieser Matrix kann man sich gut anhand einiger Sonderfälleveranschaulichen:

• Ist der Drehwinkel , so ist und . Die Drehmatrix nimmt in diesem Fall folgende Form an:

  

  Diese Matrix entspricht der Einheits-Matrix, die jeden Vektor unverändertlässt; eine Drehung um hat somit keine Auswirkungauf geometrische Objekte.

• Ist der Drehwinkel , so ist und . Die Drehmatrix nimmt in diesem Fall folgende Form an:

  

  Diese Matrix entspricht einer Skalierungsmatrix mit dem Faktor ; diese bewirkt, wie bereits beschrieben, eine Punktspiegelung einesgeometrischen Objekts um den Koordinaten-Ursprung und somit eine Drehung um.

• Ist der Drehwinkel , so ist. Die Drehmatrix nimmt in diesem Fall folgendeForm an:

  

  Der Faktor , der in diesem Fall bei allenKomponenten der Matrix auftritt, bewirkt eine Skalierung des geometrischenObjekts; ansonsten besteht der Unterschied zu den bisherigen Matrizen darin,dass nun alle Elemente der Matrix von Null verschieden sind.

  Die Wirkungsweise der obigen Matrix soll anhand einer Drehung der beidenPunkte und beziehungsweise der zugehörigen Ortsvektoren und um veranschaulichtwerden. Man erhält in diesem Fall für die Koordinaten des neuen Punktes:

  

  Wirkungsweise einer Drehmatrix.

  SVG: Drehmatrix

  Die neuen Punkte haben somit gerundet die Koordinaten und.

  Berechnet man die Länge der neuen Ortsvektoren, so stellt man fest, dasssich diese durch die Anwendung der Drehmatrix nicht geändert haben:

  

  Drehmatrizen bilden geometrische Objekte also längentreu ab. zudem bleibt auchder Winkel zwischen den beiden Ortsvektoren identisch, wie man durch Bildungdes Skalarprodukts der beiden neuen Vektoren zeigenkann:

  

  Da die Ortsvektoren einen von Null verschiedenen Betrag haben und für dasSkalarprodukt gilt, muss in diesem Fall sein, damit die rechteSeite der Gleichung ebenfalls den Wert Null liefert; folglich ist auch derWinkel zwischen den neuen Vektoren gleich.

Bei Drehungen um beliebige Winkel erhält man für die neuen Ortsvektoren meistWerte, die sich nur auf einige Nachkomma-Stellen gerundet angeben lassen;allerdings lässt sich bereits bei vier Nachkomma-Stellen eine für die meistenZwecke ausreichende Genauigkeit erzielen. In jedem Fall bleiben die gedrehtenObjekte längen- und winkeltreu.[3]

Scherungsmatrizen

Eine Scherungsmatrix bewirkt eine Verformung eines geometrischen Objekts.Allgemein hat eine zweidimensionale Scherungsmatrix folgende Form:

(15)¶

Die Wirkungsweise einer Scherungsmatrix soll im folgenden anhand des Beispiels verdeutlicht werden.

Beispiel:

• Wie verändert eine Scherungsmatrix mit ein Quadrat, dasdurch folgende Punkte begrenzt wird?

  

  Um die Punkte des neuen Vierecks zu erhalten, kann man die Scherungsmatrix aufdie Ortsvektoren der einzelnen Eckpunkte anwenden:

  

Durch die Anwendung der Scherungsmatrix wird ein geometrisches Objekt also„verzerrt“. Der Flächeninhalt des Objekts, im obigen Beispiel eines Quadrats,bleibt bei der Scherung zwar gleich, jedoch ändern sich die Winkel zwischen deneinzelnen Seiten.

Matrizengleichungen¶

Matrizen können auch zur Lösung von linearen Gleichungssystemen genutzt werden. Bei Verwendung von Matrizen können diesesehr kompakt dargestellt werden. Beispielsweise hat ein linearesGleichungssystem mit drei Unbekannten folgende Form:

In Matrizenschreibweise kann dies folgendermaßen geschrieben werden:

(16)¶

Gesucht sind bei dieser „Matrizengleichung“ wiederum die Komponenten, und des Vektors . Man kannallerdings, um die Gleichung zu lösen, nicht einfach durch dividieren, da die Division durch eine Matrix nicht definiert ist. Die Lösungbesteht vielmehr darin, eine so genannte „inverse“ Matrix zu finden, die bei Multiplikation mit der Matrix eine Einheitsmatrix ergibt.[4]

(17)¶

Hat man eine solche inverse Matrix zur Matrix gefunden, kann man beide Seiten der obigen Gleichung(16) damit multiplizieren:

Mit folgt damit:

Da die Einheitsmatrix das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist,also gilt, folgt somit als Lösungfür :

(18)¶

Die eigentliche Aufgabe für die Lösung einer Matrizengleichung besteht nun alsodarin, zu einer Matrix die inverse Matrix zu finden. Hierzu muss folgende Gleichung gelöstwerden:

Alle mit sindUnbekannte; es muss also ein Gleichungssystem mit Unbekannten und Gleichungen zur Bestimmung der inversen Matrix gelöst werden.

… to be continued …

Anmerkungen:

[4]	Die Schreibweise soll auf die Ähnlichkeit zurSchreibweise für reelle Zahlen hinweisen, fürdie ebenfalls gilt. Es kann allerdings nicht sein, da eine Divisiondurch eine Matrix nicht definiert ist.